Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες. Διαφορικός Λογισμός. Μέρος Τέταρτο: Οι Μιγαδικές Συναρτήσεις, παραγώγιση μιγαδικής συνάρτησης και μιγαδική ολοκλήρωση

της Δήμητρας Σπανού χημικού καθηγήτριας Dευτεροβάθμιας Εκπ/σης

 υπό κατασκευή

Μιγαδικές Συναρτήσεις

Έστω δύο σύνολα Α και Β υποσύνολα του συνόλου των μιγαδικών αριθμών C. Κάθε αντιστοίχιση f των στοιχείων z του συνόλου Α στα σύνολο Β με τον περιορισμό ότι για κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα στοιχείο του Β.(μονότιμη συνάρτηση).

Παράδειγμα: Αν έχουμε z=x +iy  και w= u +iv  τότε w =f(z)

 Αν αντιστοιχούν περισσότερες από μια τιμές τότε η συνάρτηση είναι πλειότιμη. w=z^1/n   , γιατί σε κάθε τιμή της z αντιστοιχούν  διαφορετικές τιμές της εξαρτώμενης μεταβλητής w

Στις μονότιμες συναρτήσεις παρατηρούμε ότι το πληθος των μεταβλητών είναι τέσσερες (x. y, u, v) Έτσι είναι δύσκολο να παρακολουθήσουμε εύκολα την μεταβολή των μεταβλητών αυτών λόγω της f.  Ένας τρόπος να γίνει αυτό είναι να θεωρήσουμε δύο ξεχωριστά επίπεδα , ένα για τους z και ένα άλλο για τους w.

Στις πλειότιμες συναρτήσεις χωρίζουμε το πλήθος των τιμών σε  n κλάδους και κάποιο σημείο τους τομή ή γραμμή διακλάδωσης

Παραδείγματα μιγαδικών συναρτήσεων είναι 

οι πολυωνυμικές μιγαδικές συναρτήσεις  όπως w=Pn(z) = a⁰z⁰ +a¹z¹ +a²z²+.... +aⁿzⁿ

oι ρητές αλγεβρικές μιγαδικές συναρτήσεις  w=P(z)/Q(y)

οι εκθετικές μιγαδικές συναρτήσεις   όπως w= e^z =e^x+iy

οi τριγωνομετρικές μιγαδικές συναρτήσεις   όπως sinz =(e^iz -e^-iz)/2i  κ.λ.π.

οι υπερβολικές μιγαδικές συναρτήσεις όπως sinhz=( e ^z -e^{- z} )/ 2 ,

οι λογαριθμικές  μιγαδικές συναρτήσεις (ορίζεται σαν αντίστροφος της εκθετικής)   w=lnz

οi αντίστροφες  τριγωνομετρικές μιγαδικές συναρτήσεις   όπως sin^-1z = 1/i ln[iz +(1-z²)^1/2  κ.λ.π.

οι αντίστροφες υπερβολικές μιγαδικές συναρτήσεις όπως sinh^-1z=  ln[z +(z²+1)^1/2 ]  +i2kπ

Παραγώγιση μιγαδικής συνάρτησης

Για τις μονότιμες μιγαδικές συναρτήσεις ορισμένες σε  D⊂Cη παράγωγος ορίζεται ανάλογα: το όριο lin {[(f(z) -f(z_o)] /z-z_o}   με z -> z_o  x

Οι κανόνες παραγώγησης των μιγαδικών συναρτήσεων είναι ανάλογοι των πραγματικών συναρτήσεων

Επιπλέον υπάρχουν ιδιέταιρες συνθήκες όπως κανόνες όπως του Cauchy Riemann για f(z) =u(x.y) + iv(x,y) ισχύει

  και οι μερικές παράγωγοι των u, v είναι συνεχείς συναρτήσεις

ΠΗΓΕΣ

https://www.physics.upatras.gr/UploadedFiles/course_107_9365.pdf

quantum mechanics-physics

Το ασυνείδητο ως επιφάνεια Riemann | Μέρες 

[PDF]ÄÉÐËÙÌÁÔÉÊÇ È_Ê_ÂÅÑÃÉÄÇÓ