Αρχική Σελίδα > Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες. Διανυσματικός Λογισμός: Φυσικά μεγέθη, μετρήσεις και υπολογισμοί, εκφράζονται με διανυσματική αναπαράσταση και υπολογισμούς.

Τα μαθηματικά στις Φυσικές Επιστήμες. Διανυσματικός Λογισμός: Φυσικά μεγέθη, μετρήσεις και υπολογισμοί, εκφράζονται με διανυσματική αναπαράσταση και υπολογισμούς.

ΔΗΜΗΤΡΑ ΣΠΑΝΟΎ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΧΗΜΙΚΟΣ 1ου ΓΥΜΝ, ΔΑΦΝΗΣ

Ο διανυσματικός λογισμός .

Ο κόσμος περιγράφεται με την βοήθεια διανυσμάτων

Εκτός από τα βαθμωτα μεγέθη ή μονόμετρα, στην Φυσική υπάρχουν τα διανυσματικά μεγέθη ή διανύσματα που για να περιγραφούν, εκτός από το μέτρο τους χρειάζεται και η κατεύθυνσή τους. Ακόμα ορίζεται η αρχή και το τέλος των διανυσμάτων αυτών. Η μετατόπιση, η ταχύτητα, η δύναμη, η επιτάχυνση, η δύναμη η ορμή, η Ένταση του ηλεκτρικού πεδίου κ.α. είναι ορισμένα από αυτά τα μεγέθη , είναι τα διανυσματικά μεγέθη.

Στην Επιστήμη των μαθηματικών μπήκε μια νέα μαθηματική έννοια, το διάνυσμα. Συνήθως συμβολίζονται με ένα βελάκι πάνω σε ένα μικρό γράμμα του Ελληνικού αλφάβητου ή με έντονο κεφαλαίο. Τo μέτρο του διανύσματος παριστάνεται με πλάγια κεφαλαία γράμματα και έχει φυσικές μονάδες.

Ορίζεται το μηδενικό διάνυσμα αν η αρχή Α και το τέλος Β συμπίπτουν και το μοναδιαίο αν το μέτρο του είναι 1. Στις καρτεσιανλες συντεταγμένες τα μοναδιαία παριστάνονατι με τα μικρά πλάγια λατινικά i, j, k ή σαν ax, ac

Τα διανύσματα επεκτάθηκαν και αποτέλεσαν μια νέα λογική ώστε δημιουργήθηκε ένα νέο κεφάλαιο της Άλγεβρας ο Διανυσματικός Λογισμός που να μπορεί να περιγράφει τα μεγέθη αυτά. Τα διανύσματα που πληρούν ορισμένες απαιτήσεις συμπεριλαμβάνονται στην συνέχεια σε μια αλγεβρική δομή που είναι ο διανυσματικός χώρος. Ένας nδιάστατος Ευκλείδιος χώρος ταυτίζεται με τον διανυσματικός χώρος R. Ισχύουν οι πράξεις της πρόσθεσης , της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού

Στην Φυσική υπάρχει η ανάγκη να μελετηθούν τα φυσικά συστήματα σε κάποια θέση που να μπορούν να αποδοθούν και να μελετηθούν εκεί οι ιδιότητές τους .

Οι Διανυσματικοί χώροι εξυπηρετούν την ανάγκη αυτήν που χαρτογραφούναι τοπικά σε Ευκλείδιούς χώρους πεπερασμένων διαστάσεων που έχουν και τηνιδιότητα του εσωτερικού γινομένου.

Η πρόσθεση διανυσμάτων μπορεί να γίνει γραφικά, σχεδιάζοντας τα διανύσματα υπό κλίμακα, ή αλγεβρικά

Άθροισμα δύο διανυσμάτων ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}$ είναι το διάνυσμα με αρχή την αρχή του ${\vec {\alpha }}$ και πέρας το πέρας του ${\vec {\beta }}$ , αν το ${\vec {\beta }}$ εφαρμοστεί στο πέρας του ${\vec {\alpha }}$ .Συμβολίζεται με ${\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }}$ . Η πράξη αυτή

ονομάζεται πρόσθεση των διανυσμάτων ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}$ .

Αφαίρεση είναι η πρόσθεση του με το αντίθετο διάνυσμα

Παράδειγμα η πρόσθεση και η αφαίρεση συντρεχουσών δυνάμεων

Στα μαθηματικά το διανυσματικό γινόμενο σε δύο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στον τρισδιάστατο χώρο a και b, μπορεί να δοθεί με δύο τρόπους, ανάλογα από τον τρόπο που γίνεται ο πολλαπλασιασμός. Έτσι έχουμε το εσωτερικό γινόμενο και το εξωτερικό γινομενο.

Στο εσωτερικό γινόμενο το αποτέλεσμα είναι μέγεθος βαθμωτό ενώ στο εξωτερικό είναι διανυσματικό

Στην φυσική υπάρχουν φυσικά μεγέθη που έχουν προκύψει από πολλαπλασιασμό διανυσμάτων, είτε σαν εσωτερικό γινόμενο ή σαν εξωτερικό γινόμενο.

Παράδειγμα χρησιμοποίησης του εσωτερικού γινόμενου της Άλγεβρας στην Φυσική

το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι μέγεθος βαθμωτό και δίνεται από τν τύπο
Image result for ÎµÏÏÏÎµÏÎ¹ÎºÏ Î³Î¹Î½ÏÎ¼ÎµÎ½Î¿ Î´ÏÎ¿ Î´Î¹Î±Î½ÏÏÎ¼Î¬ÏÏÎ½

Έργο Δύναμης. (από https://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGL-B100/491/3188,12931/)

Γνωρίζουμε ότι το έργο που παράγεται από μια δύναμη όταν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της από το Ο στο Α είναι ίσο με το γινόμενο . Το γινόμενο αυτό συμβολίζεται με και λέγεται εσωτερικό γινόμενο της δύναμης με το διάνυσμα .

Η μηχανική ισχύς σε γραμμική κίνηση

$P=v\cdot F$

σε περιστροφική κίνηση

$P=\omega \cdot M$

η ηλεκτρική ισχύς

$P=V\cdot I$ .

Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Το γινόμενο a × b ορίζεται ως ένα διάνυσμα c, που είναι κάθετο προς τα a και b, με κατεύθυνση η οποία δίδεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού και έχει μέγεθος ίσο με το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου που εκτείνονται οι φορείς.

Εάν χρησιμοποιηθεί σύστημα συντεταγμένων με το αριστερό χέρι, η κατεύθυνση του διανύσματος n δίνεται από τον κανόνα του αριστερού χεριού και δείχνει προς την αντίθετη κατεύθυνση.(βικιπαίδεια)

Παράδειγμα χρησιμοποίησης του εξωτερικού γινόμενου της Άλγεβρας στην Φυσική

Image result for Î´ÏÎ½Î±Î¼Î· Î»Î±ÏÎ»Î±Ï ÏÏÏÎ¿Ï

Στην Επαγωγή για παράδειγμα, η δύναμη laplace είναι εσωτερικό γινόμενο F=B·I·l·ημφ

Αν τα δύο διανύσματα Β, Ι είναι παράλληλα ή αντίθετα, τότε η δύναμη Laplace μηδενίζεται

Η φυσική εξήγηση είναι ότι Η Δύναμη laplace είναι το άθροισμα των δυνάμεων Lorentz που ασκούνται στα στοιχειώδη ηλεκτρικά σωματίδια που κινούνται σε μαγνητικό πεδίο.

a × b , είναι ένα τρίτο διάνυσμα το οποίο είναι κάθετο προς τα δύο (a και b).Επομένως το a × b είναι κάθετο προς το επίπεδο, που περιέχει τα a και b.

Tο μέγεθος του γινομένου είναι ίσο με το εμβαδό του παραλληλογράμμου που τα διανύσματα ορίζουν τις πλευρές του

Άλλο παράδειγμα είναι η ένταση Β μαγνητικού πεδίου γύρω από ρευματοφόρο αγωγό

B = k_μ·2·Ir

και οι μονάδες διορθώνονται από k_μ όπου k_μ = 10^-7N

A²

ή Ι =kμ/2 Br ;h

Τα σημεία των χώρων αυτών έχουν διανυσματική υπόσταση και ισχύουν οι πράξεις της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιάσμού τους με πραγματικό αριθμό.

;Oπως έχει αναφερθεί για να ορίσουμε την θέση ενός σημείου στους χώρους αυτούς χρησιμοποιούμε τις συντεταγμένες.

Συνηθισμένα συστήματα συντεταγμένων είναι το καρτεσιανό και το πολικό.

Η θέση ενός σημείου , στις καρτεσιανές στο επίπεδο ορίζεται από τα διανύσματα είναι χ,ψ ενώ στις πολικές από την απόσταση r και την γωνία θ . Υπάρχει σχέση μετατροπής από το ένα

σύστημα στο άλλο. ${\begin{aligned}{\boldsymbol {{\hat {r}}}}&=\cos {\theta }\ {\mathbf {{\hat {x}}}}+\sin {\theta }\ {\mathbf {{\hat {y}}}}\\{\boldsymbol {{\hat {\theta }}}}&=-\sin {\theta }\ {\mathbf {{\hat {x}}}}+\cos {\theta }\ {\mathbf {{\hat {y}}}}\end{aligned}}$

Επίσης θα συναντήσουμε συχνά στην Φυσική την μαθηματική έννοια του τελεστή.

(από την Βικιπαίδεια μεταφέρω)

Ο τελεστής στα μαθηματικά ορίζεται γενικά ως μία συνάρτηση που δρα πάνω σε κάποια άλλη συνάρτηση, μετασχηματίζοντάς την κατά ένα καθορισμένο τρόπο. Συμβολίζονται συνήθως με ένα κεφαλαίο γράμμα με το σύμβολο ^ πάνω του, π.χ.: ${\hat {A}}$ .

Ένα παράδειγμα τελεστή είναι η παράγωγος και η παραγώγιση όπου μετασχηματίζει την αρχική συνάρτηση βάσει των νόμων της παραγώγησης

Σε δισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες, ο τελεστής ανάδελτα δίνεται από τον τύπο:

{\boldsymbol {\nabla }}(x,y)={\mathbf {\hat {x}} }{\frac {\partial }{\partial x}}+{\mathbf {\hat {y}} }{\frac {\partial }{\partial y}}

ο παραπάνω τελεστής δίνεται σε πολικές συντεταγμένες από τον εξής τύπο:

{\boldsymbol {\nabla }}(r,\theta )={\boldsymbol {\hat {r}}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}

από https://el.wikiversity.org/wiki/

Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων που είναι η προβολή του ενός διστήματος πάνω στο άλλο

Παράδειγμα: είναι ο ρυθμός παραγωγής έργου που είναι η Δύναμη επί την ταχύτητα

Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των δύο άλλων

Πολλαπλασιασμού διανύσματος με πραγματικό αριθμό: Το διάνυσμα της ορμής

από Βικιπαίδεια

Η ορμή ορίζεται ως το γινόμενο της μάζας (m) του αντικειμένου επί την ταχύτητά (u) του. Είναι διανυσματικό μέγεθος, όπως και η ταχύτητα, και έχει τη φορά και τη διεύθυνση αυτής.

{\vec {\mathbf {p} }}=m{\vec {\mathbf {u} }}\,

$Δήμητρα Σπανού$

$v-fedun.staff.shef.ac.uk$

$Calculus: Differentials and integrals$

Physclips.

graph of 1, x, x^2 and their derivatives

$(https://el.wikipedia.org/wiki/Πείραμα_των_δύο_σχισμών)$

$Οι μαγευτικοί κρύσταλλοι. Μέρος Δεύτερο: Οι φυσικές και ...μεταφυσικές ιδιότητες των κρυστάλλων. Μήπως υπάρχει σχέση; dimitra-spanoy.webnode.gr$

$ΟΙ Φυσικές Επιστήμες στις αρχές του 21ου αιώνα. Φαινόμενα Μέρος Πρώτο. Παρατηρήσεις και πειράματα, που δειχνουν την διττή υπόσταση (ενεργειακή και σωματιδιακή) του κόσμου. Η Κβαντική θεωρία και η Κβαντική Μηχανική$

$https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CF%86%CE%BF%CF%81%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%B9%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82$

$https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%93%CE%B9%CE%BD%CF%8C%CE%BC%CE%B5%CE%BD%CE%BF_%CE%B4%CE%B9%CE%B1%CE%BD%CF%85%CF%83%CE%BC%CE%AC%CF%84%CF%89%CE%BD$

$https://physicsgg.me/2012/07/15/h-%CF%83%CF%87%CE%AD%CF%83%CE%B7-%CE%B1%CE%BD%CE%AC%CE%BC%CE%B5%CF%83%CE%B1-%CF%83%CF%84%CE%B1-%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC-%CE%BA%CE%B1%CE%B9-%CF%84%CE%B7%CE%BD-%CF%86/$

$https://www.math.ntua.gr/~afellou/Simioseis/kefalaio4dianlogismos.pdf$

$https://www.math.upatras.gr/~spn/files/mp1.pdf$

$Πράξεις διανυσμάτων\Μέρος Β - Βικιεπιστήμιο$

Βικιεπιστήμιο

$ΠΗΓΕΣ$

Δήμητρα Σπανού

https://openclass.teiwm.gr/modules/document/file.php/EE109/%CE%95%CE%BD%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1%202.%20%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BD%CF%8D%CF%83%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1%20%CE%BA%CE%B1%CE%B9%20%CE%A3%CF%85%CF%83%CF%84%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1%20%CE%A3%CF%85%CE%BD%CF%84%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B3%CE%BC%CE%AD%CE%BD%CF%89%CE%BD.pdf

https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%BF%CE%BB%CE%B9%CE%BA%CF%8C_%CF%83%CF%8D%CF%83%CF%84%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CF%83%CF%85%CE%BD%CF%84%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B3%CE%BC%CE%AD%CE%BD%CF%89%CE%BD

Χρήστος Π. Κωτσαλένης

Nemertes - Πανεπιστήμιο Πατρών

Αφαίρεση είναι η πρόσθεση του με το αντίθετο διάνυσμα

Παράδειγμα η πρόσθεση και η αφαίρεση συντρεχουσών δυνάμεων

Επαφή